رده بندی و رنگ آمیزی گراف های ایده آل پوچ کن حلقه های تعویض پذیر

در این پایان نامه ارتباط بین خواص جبری و خواص گرافی, گراف ایده آل پوچ کن حلقه های تعویض پذیر بیان می شود. فرض کنیم r یک حلقه تعویض پذیر و یکدار باشد. در این صورت ایدآل‎ i از r‎ را ایده آل پوچ‏ساز می گوییم هرگاه ایده آل ناصفرj‎ از r‎ وجود داشته باشد به طوری که ij=(0)‎. مجموعه ی همه ی ایده آل های پوچ ساز حلقه ی ‎‎r را با ‎a(r) ‎ نشان می دهیم. گراف ایده آل پوچ کن گرافی است با مجموعه رئوس a( r ) (0) که این گراف را با ‎ag(r) ‎ نشان می دهیم و در این گراف دو رأس i و j‎ را مجاور می گوییم اگر و تنها اگرij= (0). این پایان نامه شامل4 فصل می باشد. فصل اول شامل مقدمه و تاریخچه است. فصل دوم شامل پیش نیاز هاست. در فصل سوم گراف های ایده آل پوچ کن حلقه های تعویض پذیر رده بندی می شوند. در فصل چهارم رنگ آمیزی رئوس گراف های ایده آل پوچ کن حلقه ی کسرها و حاصل ضرب مستقیم حلقه ها را مطالعه می کنیم. همچنین در ادامه فرمول هایی را برای عدد خوشه ای و عدد رنگی حاصل ضرب مستقیم حلقه ها را فراهم می کنیم. ابتدا حلقه هایی را که گراف ایده آل پوچ کن آن ها کامل, مسیری, دوبخشی یا دوبخشی کامل هستند را فراهم می کنیم. در این راستا عدد طبیعی مثبت n یافت می شود به طوری که {ag}(r)‎‎‎ ‎cong ‎k‎_{n}. جایی که k‎_{n} یک گراف کامل از مرتبه ی n است. همچنین ثابت می شود که گراف ایده آل پوچ کن یک حلقه ی تعویض پذیر دو بخشی است اگر و تنها اگر گراف ایده آل پوچ کن فاقد مثلث باشد. به علاوه نتایجی درباره ی حلقه هایی که همه ی ایده آل های نابدیهی آن ها, ایده آل پوچ کن هستند مطرح می شود. به عنوان مثال نشان داده می شود که اگر حلقه ی r آرتینی و عدد رنگی گراف ایده آل پوچ کن آن برابر2 باشد آن گاه r یک حلقه ی گورنشتاین است. همچنین در این پایان نامه نتایجی درباره ی عدد خوشه ای و عدد رنگی گراف های ایده آل پوچ کن حلقه های تعویض پذیر مطرح می شود. در بین نتایج دیگر نشان داده می شود که اگر عدد رنگی گراف مقسوم علیه صفر متناهی باشد آن گاه عدد رنگی گراف مقسوم علیه صفر نیز متناهی است. در بهبودی و راکعی حدس زده شد که کمر گراف ایده آل پوچ کن یک حلقه ی تقلیل یافته با بیش از دو ایده آل اول مینیمال برابر است. در این پایان نامه ثابت می شود که برای هر حلقه ی تعویض پذیر (نه لزوما تقلیل یافته) عدد رنگی گراف ایده آل پوچ کن آن بزرگتر یا مساوی تعداد ایده آل های اول مینیمال آن است. که نشان می دهد حدس بالا در حالت کلی درست است.